Question

对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，那么，

(1)求函数的“稳定点”;

(2)若，且，求实数的取值范围.

Answer

(1)4;(2).

【解析】

（1）由稳定点的定义解方程即可得解；

（2）研究可知当时，，当时，集合的元素为1，；研究可知，中要么没有元素，要么与的元素相同，再分类讨论即可得解．

【解析】
（1）由题意得，，即，求得，所以函数的“稳定点”为.

（2）因为，则有实根，即有实根，

当时，所以 ;

当时，方程符合题意.

因为，则有实根，即有实根，化简可得，

因为，所以要么没有实根，要么实根是方程的根.

若没有实根，则 且;

若有实根，且实根是方程的根，由方程知，代入，有，再代入可得，

故实数的取值范围为.