Question

已知函数.

（1）证明:函数在上是减函数;

（2）若对任意，都有，求正实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤进行即可；

（2）将问题转化为即，等价于，再根据函数的单调性将问题转化为：对任意，恒成立，根据二次函数的性质即可求解.

（1）证明：任取，

∵，∴，

∴即

∴函数在上是减函数

（2）由得

即

∴

∵

∴

∵，且在上是减函数

∴即

问题转化为：对任意，恒成立

设

∵的图象开口向上，要使任意，恒成立，则

∴

∴的取值范围为