Question

已知函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称.

（1）写出函数的解析式；

（2）判断函数的奇偶性并证明；

（3）求关于的不等式的解集.

Answer

（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）当时， ，当时， .

【解析】

（1）设图象上任意点，根据对称性，关于原点对称的点在的图象上，则，即可求解；

（2）根据题意写出，求出即可判断奇偶性；

（3）分类讨论当时，当时分别求解不等式.

（1）由题：函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称，

设图象上任意点关于原点对称的点在的图象上，则，所以，

即；

（2）是奇函数，证明如下：

，

即，

，

所以是奇函数；

（3）由题：，

即，

当时，，解得：，

当时，，解得：，

综上所述：当时， ，当时， .