Question

已知点，求

（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；  

（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．

(2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；

解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程．

(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，

半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.

(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0

由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．

r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.

解法2：待定系数法

设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

则

∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.