Question

如图，在四面体中，已知⊥平面，，，为的中点．

（1）求证：；

（2）若为的中点，点在直线上，且，

求证：直线//平面．

Answer

(1)见解析（2）见解析.

【解析】

试题（1）由等腰三角形性质得AD⊥PC．再根据PA⊥平面ABC，得PA⊥BC．最后根据线面垂直判定定理得BC⊥平面PAC，得BC ⊥AD．即得AD⊥平面PBC，可得AD⊥BD（2）设BD与CM交于点G，先根据平几知识得AD//NG，再根据线面平行判定定理得结论

试题解析：(1) ∵PA=AC，D为PC的中点，∴AD⊥PC．

∵ PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴ PA⊥BC．

∵ ∠ACB=90°，BC ⊥AC，且PAAC =A， 平面

∴ BC⊥平面PAC．

∵ AD平面PAC， ∴ BC ⊥AD．

且平面，

∴AD⊥平面PBC ．

∵ BD平面PBC，∴AD⊥BD ．

（2） 连接DM，设BD与CM交于点G，连接N G，

∵ D、M为中点，∴DM //BC且，

∴ DG:GB=DM:BC=1:2．

∵ AN:NB=1:2，∴AN:NB= DG:GB ．

∴ △BNG∽△BAD，∴AD//NG，

∵平面CMN，平面CMN，

∴ 直线AD//平面CMN．