Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3.

（I）求棱锥C-ADE的体积；

（II）求证：平面ACE⊥平面CDE；

（III）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)存在，.

【解析】

（I）在中，，可得，由于平面，可得；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使平面，．设为线段上的一点，且，过作交于点，由线面垂直的性质可得：．可得四边形是平行四边形，于是，即可证明平面

（I）在Rt△ADE中，，因为CD⊥平面ADE，

所以棱锥C-ADE的体积为.

（II）因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面

（III）在线段上存在一点F，且，使平面.

【解析】
设为线段上一点，且，过点作交于，则.

因为平面，平面，所以，又因为

所以，，所以四边形是平行四边形，则.

又因为平面，平面，所以平面.