Question

如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取线段的中点，根据中位线定理，可得位置关系，以及长度，可得四边形为平行四边形，利用线线平行，可得结果.

（2）根据，可得线面垂直，并求出垂线段长度，计算底面梯形面积，结合棱锥的体积公式，可得结果.

证明：（1）取线段的中点，连接.

则是的中位线，

所以//

又因为//，

所以//.

所以四边形为平行四边形.

所以//.

又平面，平面，

所以//平面.

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【解析】
（2）易求等腰梯形的高为

，

所以等腰梯形的面积.

因为，为中点，所以.

又，，

平面，所以平面，

即为四棱锥的高.

在中，，

则，

故四棱锥的体积

.