Question

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点.

（1）当时，求直线的方程；

（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于两点，记与的面积分别为，求的最小值.

Answer

（1）；（2）12.

【解析】

(1) 设直线方程为,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理求解得即可.

(2) 联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达,再根据基本不等式的方法求最小值即可.

解: （1）由直线过定点,可设直线方程为.

联立消去,得,

由韦达定理得,

所以.

因为.所以,解得.

所以直线的方程为.

（2）由(1),知的面积为

.

因为直线与直线垂直,

且当时,直线的方程为,则此时直线的方程为,

但此时直线与抛物线没有两个交点,

所以不符合题意,所以.因此,直线的方程为.

同理,的面积.

所以

,

当且仅当,即,亦即时等号成立.