Question

已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.

（1）求的单调区间；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) 函数的单调递增区间为，无单调减区间；(2) .

【解析】

(1)利用导数的几何意义求解,再利用导数的正负求解单调区间即可.

(2) 令,求导分析的单调性与最小值,再分和两种情况讨论即可.

解:(1)由已知得,则.

又因为直线的斜率为

所以,解得.

所以,定义域为,

所以.

所以函数的单调递增区间为,无单调减区间.

(2)令.则

令,则

当时,,所以.

所以函数为增函数.

所以,所以.

①当时,,所以当时,,

所以函数为增函数,所以,

故对成立；

②当时,,由时,,

,

当,知,即.

所以函数为减函数.

所以当时,.

从而,这与题意不符.

综上,实数的取值范围为.