Question

已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）设集合，，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）根据点都在函数的图像上，可得，再写出，两式相减，即可求得数列的通项公式；

（Ⅱ）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和；

（Ⅲ）先确定,再确定是公差为4的倍数的等差数列，利用，可得，由此可得的通项公式.

（Ⅰ）点都在函数的图象上，

，

当时，.

当时，满足上式，

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）为与的等差中项

.

①

由①，得②

①②得：

（Ⅲ），

，是中的最小数，.

是公差为4的倍数的等差数列，.

又，，解得.

所以，

设等差数列的公差为，则，

，

.