Question

为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为.

（1）若，求两站点之间的距离；

（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？

Answer

（1）；（2）设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.

【解析】

（1）过作直线于，则，设，

则，（），可得，，可求，又，结合，可得，即可求解两出入口之间距离的最小值.

（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，可求，或（舍去），可求，此时，又由（1）可知当时，，综上即可求解.

（1）过作直线于，则，设，

则，（），

故，，

，

又，

由，得，

故，当且仅当，时取等号.

此时，有最小值为.

即两出入口之间距离的最小值为.

（2）由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，

根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为

此时直线为圆与圆的公切线.

因为，出入口在古建筑群和市中心之间，

如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，

建立平面直角坐标系

由，，

因为圆的方程为，圆的方程为，

设直线的方程为，

则所以，两式相除，得，

所以或，

所以此时或（舍去），此时，

又由（1）知当时，，

综上，.

即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.