Question

若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；

②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.

（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；

①；      ②；     ③

（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；

（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) （3）存在整数或，使得数列为双底数列

【解析】

试题（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知，解得， 当时，数列成等差，，当时，，从而可得结果；（3）， 若数列是双底数列，则有解（否则不是双底数列），即 ，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果.

试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列；

（2）数列当时递减，当时递增，

由双底数列定义可知，解得，

当时，数列成等差，，

当时， ，

综上，.

（3），

，

若数列是双底数列，则有解（否则不是双底数列），

即 ，

得或或或

故当时，，

当时，；当时，；当时，；

从而 ，数列不是双底数列；

同理可得：

当时， ，数列不是双底数列；

当时， ，数列是双底数列；

当时， ，数列是双底数列；

综上，存在整数或，使得数列为双底数列.