Question

如图，已知四棱柱的底面是正方形，侧面是矩形，，为的中点，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）判断二面角是否为直二面角，不用说明理由；

（3）求二面角的大小.

Answer

（1）见解析；（2）是；（3）.

【解析】

（1）连接、、，平面即为平面，推导出，，，由此能证明平面；

（2）二面角是直二面角；

（3）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的大小．

（1）连接，，.

平面即为平面，底面是正方形，.

又平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，，

侧面是矩形，，

又，平面，平面，平面；

（2）二面角为直二面角；

（3）由（1）可知，，，，

故以为坐标原点，方向为轴正方向，为单位长度，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，

所以，，设平面的法向量为，

则，令，则，，则，

由（1）知，平面，所以，是平面的一个法向量，

于是，

由（2）知二面角的平面角为钝角，所以二面角的大小为.