Question

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆在左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点（和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析，定值.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，由离心率及过的点和、、之间的关系求出椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，将直线与椭圆的方程联立，设点，，求出两根之和及两根之积，写出、的方程由题意求出、的坐标，求出的值，同理由题意求出的值，进而求出比值为定值．

（1）设椭圆的焦距为，由题意，，解得，，

所以，椭圆的方程为；

（2）由（1）知，，，

由题意，直线不与轴垂直，且不过椭圆的上、下顶点，

故可设直线的方程为，设，.

由，消去，整理得.

，由韦达定理，，.

直线的方程为，.

同理，.

所以，，

直线的方程为，.

同理，.

所以，，

由题意，，故.