Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，函数有三个零点.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）求出函数的解析式，求导，分、及解关于导函数的不等式即可得出函数的单调区间；

（2）易知函数的零点就是函数的零点，结合（1）的结论以及零点存在性定理即可得证．

（1），

.

①当时，，

当时，，当时，.

函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

②当时，，，则函数在上为增函数；

③当时，，

当，，当，.

函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，无单调减区间；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

（2），函数的零点就是函数的零点，

当时，由（1）知函数在，上单调递增，在上单调递减.

当时，函数单调递增，

因为，，

令，

则，

，，函数在上单调递减，

，

所以，存在，使得，

所以，函数在上有个零点；

当，为减函数，极小值点，且，

所以，函数在有个零点；

当，函数为增函数，

，，

存在，使得，所以函数在有1个零点.

综上，当时，函数有三个零点，即函数有三个零点.