Question

已知函数且

（1）求该函数的值域；

（2）若对于任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）令t=log2x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域；
（2）令t=log2x，则可将已知问题转化为对t∈[1，2]恒成立，求出不等号左边式子的最小值即可得到答案．

(1) ，2≤x≤4，

设log2x=t，1≤t≤2，

∴f(t)=(t−2)(t−)=

当时, ,当t=1,或t=2时,ymax=0.

∴函数的值域是.

(2)若对于任意恒成立，

令t=log2x，1≤t≤2，

即(t−2)(t−)≥mt对t∈[1,2]恒成立，

∴对t∈[1,2]恒成立，

∵,当且仅当t=时取等号，

∴，

∴，

∴.