Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）已知PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．

（ⅰ）若点F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，求证：EF∥平面ABCD；

（ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证出.

（Ⅱ）（ⅰ）利用线面平行的判定定理即可证出；

（ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACE的一个法向量以及平面ADC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出.

证明：（Ⅰ）∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）（ⅰ）PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．

点F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，

∴EF∥AD，

∵EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD．

【解析】
（ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD，

PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PA＝AD＝3，则A（0，0，0），C（3，3，0），E（0，2，1）．

（3，3，0），（0，2，1），

设平面ACE的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，﹣1，2），

平面ADC的法向量（0，0，1），

设二面角D﹣AC﹣E的平面角为α，

则cosα．

∴二面角D﹣AC﹣E的余弦值为．