Question

已知函数f（x）＝ax²+ax﹣1（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）＞0的解集；

（Ⅱ）对于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＜0的解集．

Answer

（Ⅰ）{x|x或x}；（Ⅱ）（﹣4，0]；（Ⅲ）答案不唯一，详见解析．

【解析】

（Ⅰ）将a＝1代入，解一元二次不等式即可求解.

（Ⅱ）讨论a＝0或，根据二次函数的图象与性质即可求解.

（Ⅲ）讨论的取值，根据含参的一元二次不等式的解法即可求解.

（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2+x﹣1＞0，

解得x或x．

∴f（x）＞0的解集为{x|x或x}．

（Ⅱ）∵f（x）＝ax2+ax﹣1（a∈R）．

对于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，

∴a＝0或，

解得﹣4＜a≤0，

∴a的取值范围是（﹣4，0]．

（Ⅲ）（i）a＝0时，f（x）＝﹣1＜0，

不等式的解集是R，

（ii）a＞0时，f（x）＝ax2+ax﹣1，

△＝a2+4a＞0，令f′（x）＝0，

解得：x，

故f（x）＜0的解集是：（，），

（iii）a＜0时，△＝a2+4a，

①a＜﹣4时，△＞0，

令f（x）＝0，解得：x，

故f（x）＜0的解集是：（﹣∞，）∪（，+∞），

②a＝﹣4时，△＝0，f（x）＜0的解集是{x|x}，

③﹣4＜a＜0时，△＜0，

f（x）＜0的解集是R．