Question

已知椭圆C：1（a＞b＞0），其右焦点为F（1，0），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l，与椭圆C交于P，Q两点．

（ⅰ）当时，求△OPQ（O为坐标原点）的面积；

（ⅱ）随着α的变化，试猜想|PQ|的取值范围，并证明你的猜想．

Answer

（Ⅰ）1；（Ⅱ）（i），（ii）[3，4），证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得c＝1，由离心率，以及b2＝a2﹣c2即可求解.

（Ⅱ）（i）利用点斜式求出直线l的方程为xy+1，将直线l的方程与椭圆联立，根据韦达定理求出y1+y2，y1y2，进而求出，利用三角形的面积公式即可求解；（ii）设直线l的方程为x＝my+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式可求出，设m2+1＝t，t＞1，再利用基本不等式即可求解.

（Ⅰ）由题意可的c＝1，

又，则a＝2，

则b2＝a2﹣c2＝3，

∴椭圆方程为1，

（Ⅱ）（i）设直线l的方程为xy+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立方程组，消x可得5y2+2y﹣9＝0，

∴y1+y2，y1y2，

则|y1﹣y2|

∴S△OPQ|OF|•|y1﹣y2|1，

（ii）当α时，设直线l的方程为x＝my+1，则tanα，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立方程组，消x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0

∴y1+y2，y1y2，

∴|PQ|•••，

设m2+1＝t，t＞1，

，∵t＞1，∴∈（0，1），

∴∈（3，4），∴|PQ|∈（3，4），

当m＝0时，此时α，此时直线方程为x＝1，

则1，解得y＝±，

∴|PQ|＝3，

综上所述随着α的变化，|PQ|的取值范围为[3，4）．