Question

已知数列{a_n}的首项为1，若对任意的n∈N^*，数列{a_n}满足a_n+1﹣3a_n＜2，则称数列{a_n}具有性质L．

（Ⅰ）判断下面两个数列是否具有性质L：

①1，3，5，7，9，…；

②1，4，16，64，256，…；

（Ⅱ）若{a_n}是等差数列且具有性质L，其前n项和S_n满足S_n＜2n²+2n（n∈N*），求数列{a_n}的公差d的取值范围；

（Ⅲ）若{a_n}是公比为正整数的等比数列且具有性质L，设b_n＝a_n（n∈N^*），且数列{b_n}不具有性质L，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）1，3，5，7，9，…具有性质L，理由见解析；（Ⅱ）[0，4）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）根据题意利用an+1﹣3an＜2，验证即可

（Ⅱ）利用等差数列的通项公式以及前项和公式，代入不等式即可求解.

（Ⅲ）利用等比数列的通项公式求出数列{an}的公比，{bn}不具有性质L，只需存在正整数m，使得bm+1﹣3bm≥2，，，进而可确定，利用等比数列的通项公式即可求解.

（Ⅰ）①1，3，5，7，9，…具有性质L．

理由如下：

对于数列1，3，5，7，9，…，其通项公式为an＝2n﹣1，n∈N*，

an+1﹣3an＝2n+1﹣3（2n﹣1）＝4﹣4n＜2，

∴1，3，5，7，9，…具有性质L．

②1，4，16，64，256，…不具有性质L．

理由如下：

对于数列1，4，16，64，256，…，

∵a3﹣3a2＝16﹣3×4＝4＞2，

∴1，4，16，64，256，…不具有性质L．

（Ⅱ）∵等差数列{an}具有性质L，∴an+1﹣3an＜2，

即1+nd﹣3[1+（n﹣1）d]＜2对n∈N*均成立，

∴（3﹣2n）d＜4对n∈N*均成立，当n＝1时，d＜4，

当n≥2时，d恒成立，

而0，（n≥2，n∈N*），∴d≥0，∴0≤d＜4，

∵a1＝1，得，

∴由题意n2n2+2n对n∈N*均成立，

∴当n＝1时，d∈R，当n≥2时，d恒成立，

∵4，∴d≤4．

∵，（n≥2，n∈N*），∴d≥0．∴0≤d＜4，

综上，0≤d＜4．

∴数列{an}的公差d的取值范围是[0，4）．

（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则qn﹣1，

∵公比为正整数的等比数列{an}具有性质L，

∴qn﹣3qn﹣1＜2，∴（q﹣3）qn﹣1＜2，∴q﹣3≤0，

若不然，q≥4，此时，（q﹣3）qn﹣1≥4n﹣1，不满足条件，

∵q是正整数，∴q＝1，2，3，

∵{bn}不具有性质L，∴存在正整数m，使得bm+1﹣3bm≥2，

∴2，（）2，

∴，∴，

∵q∈{1，2，3}．∴q＝3，

当q＝3时，，满足an+1﹣3an＜2．

∴数列{an}的通项公式为．