Question

已知斜三棱柱，，，，，.

（1）求的长；

（2）求与面所成的角的正切值.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)方法一:由,,推出面,故,则可利用勾股定理解出;方法一:如图所示以为原点,以为轴,为轴,竖直向上为轴,建立空间直角坐标系,因为面,即平面等同于平面,因而可以利用坐标求出;

(2)方法一:延长,过作于,因为面,所以面面,所以面,所以为与面所成角,等价于与面所成的角,最后结合数据解三角形即可；方法二:建系后可以利用向量法求出与面所成的角的正切值.

解:方法一:(1)因为,,,

所以面,

故,所以,

于是;

(2)延长,过作于,

由(1)知面,所以面面,

又面面,,面,

所以面,

所以为与面所成角,

在中可得,故,,

所以,

又因为,面面,

故与面所成的角即为与面所成的角,

所以与面所成的角的正切值为.

方法二:(1)如图所示以为原点,为轴,为轴,竖直向上为轴,

建立空间直角坐标系,则,,

因为,,,

所以面,即平面等同于平面,

又因为,,

所以的坐标为,

所以;

(2)因为,面面,

故与面所成的角即与面所成的角,设其夹角为,

易得面的法向量为,且,

所以,

所以,

所以与面所成的角的正切值为.