Question

已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，且与圆相切于点.

（1）当，时，求直线方程与抛物线的方程；

（2）设为抛物线的焦点，，的面积分别为，，当取得最大值时，求实数的值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1)根据直线与都相切,列出对应方程,求解即可;

(2)联立,求得,故消,求得,再联立直线与圆方程,求出点,从而可以求出,再分别求,利用基本不等式化简,则可求出当取得最大值时,实数的值.

(1)由题设可知,:,且,

由与圆相切,可知圆心到直线的距离,解得,

所以直线方程为:,

由,令,解得,

所以抛物线的方程为:.

(2)联立,可得,

令,即,解得,即,

此时切点,

又直线和圆相切,可得,

故联立直线与圆方程,

解得,,即,

,

又到的距离,

即有,

,

可得(当且仅当取等号),

此时.