Question

已知函数.

（1）若，求函数的单调区间及极值；

（2）当时，函数（其中）恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调增区间为，减区间为，（2）

【解析】

(1)求出时及,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间;

(2)令,恒成立可变形为,对恒成立.方法一:令,取必要条件,解得,只要证明当时,对恒成立即可;方法二:上式继续变形为:对恒成立,设,因此,故而求出即可得出结论.

解:(1)当时,,此时,

当,;,,

所以函数的单调增区间为,减区间为,

所以有极大值,无极小值;

(2)方法一:即恒成立,

令,即,上式可变为,

即对恒成立,

令,

取必要条件,解得,

下证当时,对恒成立,

,

因为,所以在单调递增,

由于,,

所以在存在唯一零点,

所以在存在唯一极小值点,

此时,即,

,

由于,可得,,

所以恒成立,即对恒成立,

综上可得的取值范围为.

方法二:即恒成立,

令,即,上式可变为,

即对恒成立,

即对恒成立,

设,则,

可知在单调递增,在单调递减,

因此,

所以,解得,

即的取值范围为.