Question

如图，在四棱锥中，，侧面底面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由得，，由侧面底面得侧面，由面面垂直的判定即可证明；（2）由侧面，可得， 得是二面角的平面角，，推得为等腰直角三角形，取的中点，连接可得，由平面平面，得平面，证明平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，，再利用求解即可

（1）证明：由可得，

因为侧面底面，交线为底面且

则侧面，平面

所以，平面平面 ；

（2）由侧面可得，，

则是二面角的平面角，

由可得，为等腰直角三角形

取的中点，连接可得

因为平面平面，交线为平面且

所以平面，点到平面的距离为.

因为平面

则平面

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，.

设，则

在中，；在中，

设直线与平面所成角为

即

所以，直线与平面所成角的正弦值为.