Question

已知动圆与轴相切，且与圆：外切；

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若直线过定点，且与轨迹交于、两点，与圆交于、两点，若点到直线的距离为，求的最小值．

Answer

（1）和

（2）

【解析】

（1）设，根据两圆外切的条件列方程，化简后求得的轨迹的方程.

（2）设出直线的方程，利用直线和抛物线相交的弦长公式、直线和圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式，求得，由此求得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得的最小值.

圆，圆心为，半径为.

（1）设，则，讨论的符号可知，动圆圆心轨迹方程为和．

（2）注意到若直线平行于轴，则直线与抛物线没有两个交点，因此可设：．

联立，得，得，．

故．

又圆心到直线的距离，从而．

从而，令，则．

．

令，则在上单调递增，即．

因此当时，即时取最小值．