Question

已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）

（2）是为定值，的横坐标为定值

【解析】

（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为6”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.

（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为

（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．

由消去并整理得，∴，．

直线的方程为：，直线的方程为：．

联系方程，解得，又因为．

所以．所以的横坐标为定值．