Question

已知函数在上是减函数，在上是增函数若函数，利用上述性质，

Ⅰ当时，求的单调递增区间只需判定单调区间，不需要证明；

Ⅱ设在区间上最大值为，求的解析式；

Ⅲ若方程恰有四解，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.

【解析】
（Ⅰ）当时，

的单调递增区间为，

（Ⅱ）∵

①当时，，

②当时，，，

③当时，

，

，，

当，即时，

当，即时，

综上所述

（Ⅲ）时，方程为，且，其中.

若，即时，由于为增函数，故有且只有两正解.

若，即时，由于为增函数，故无解.

所以时，方程有且只有两正解.

时，方程为或，只需，可使有且只有两解.

综上所述时，恰有四解