Question

已知数列满足,,设,

(1)求证:是等比数列;

(2)求数列的通项公式.

(3)若不等式对任意的正整数n恒成立,求实数的取值范围.

Answer

(1)证明见解析;(2);(3).

【解析】

（1）已知递推公式拼凑成关系式，由等比数列的定义，即可证明结论；

（2）由（1）得，用待定系数法，求出的通项公式；

（3）对分类讨论，转化为与数列奇数项最小、偶数项最小的关系，即可得出结论.

(1)证明:∵,

∴.

∵,∴,

∴,∴,

∴数列是以15为首项,3为公比的等比数列.

(2)由(1)得,

则,∴.

又∵,∴,

∴是以2为首项,-2为公比的等比数列.

∴,即.

(3)

当n为偶数,

当n为奇数,即

综上:.