Question

已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的正整数的最大值.

（3）设，是否存在，使得成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）672（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）由数列的递推式，计算可得所求通项公式；

（2）求得，运用裂项相消求和可得，判断的单调性，可得最小值，即可得到的最大值；

（3）讨论为奇数或偶数，假设存在，计算可判断是否存在．

【解析】
（1）因为，所以，又因为满足上式，所以.

（2）由（1）可知，所以，显然随着的增大而增大，故的最小值为，由可得.

（3）结论：不存在满足条件的.

理由如下:①当为奇数时为偶数，则，即，所以，解得，矛盾.

②当为偶数时为奇数，则，即，所以，解得，矛盾.综上所述，不存在满足条件的.