Question

有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响.经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表

摄氏温度	—5	4	7	10	15	23	30	36
热饮杯数	162	128	115	135	89	71	63	37

（参考公式），

（参考数据），，，.样本中心点为.

（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里.因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少.统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱.请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.

（2）（i）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；

（ii）记为不超过的最大整数，如，.对于（1）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？

Answer

（1）气温与当天热饮销售杯数的负相关很强（2）（i）（ii）当气温时，当天的热饮销售利润总额最大

【解析】

（1）计算相关系数，比较数据，可得结果.

（2）（i）根据参考公式求得，利用样本中心点，可得，最后可得结果.

（ii）根据（i）可得，结合“每杯的销售利润”，可得“当天的热饮销售利润总额”的表达式，然后根据数据求值，可得结果.

（1）∵

则

∵，

∴气温与当天热饮销售杯数的负相关很强.

（2）（i）∵

∴气温与当天热饮销售杯数的

线性回归方程为.

（ii）由题意可知：

气温与当天热饮销售杯数的关系为，

设气温为时，则当天销售的热饮利润总额为

，

即，

易知，，.

故当气温时，

当天的热饮销售利润总额最大，且最大为元.