在数列与中，，，数列的前项和满足，. （1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明...

在数列与中，，，数列的前项和满足，.

（1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明之.

（2）求数列与的通项公式；

（3）设，.证明：.

（1），，，；猜测：，证明见解析（2）；（3）证明见解析【解析】（1）带值计算并作猜想，利用迭乘法或数学归纳法，可得结果. （2）根据（1）的条件，利用与的关系，可得，根据与的关系，可得结果. （3）根据（2）的结论，计算出，进一步得出，与2比较，可得结果. （1）由题知：，，，猜测：【法一】 ∵∴ ∴ , 即【法二】用数学归纳法证明如下：当时，，等式成立. 假设时等式成立，即，当时， ∵∴ ∴ （2）由（1）知：， ∴ 即则当时，也成立， ∴ ∴ 即（3）证明：当，时， . 注意到，故 . 当，时，即当，时，即当，时，即 ∴，. 从而时，有，综上，当时有，即.

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考点分析：

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有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响.经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表

摄氏温度	—5	4	7	10	15	23	30	36
热饮杯数	162	128	115	135	89	71	63	37

（参考公式），

（参考数据），，，.样本中心点为.

（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里.因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少.统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱.请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.

（2）（i）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；

（ii）记为不超过的最大整数，如，.对于（1）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？

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首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．