Question

已知正四棱锥的底边边长为2,侧棱长为,现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体,则该正方体的体积最大值是________.

Answer

【解析】

用转化的思想去解决：当所放的正方体可以任意旋转且体积最大时，那么只需当它的外接球与四棱锥各面都相切时，外接球体积最大，则该正方体的体积最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解．

设此正方体外接球半径为，体积最大的球应与四棱锥各个面都相切，

设球心为，连，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为，易知四棱锥的高为，四个侧面三角形的底为2，高为2，

∴，

即，

∴，

正方体的体对角线是其外接球直径，故其体对角线为，棱长为，

∴正方体体积的最大值为.

故答案为：1.