Question

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，点是侧棱的上一点．

（1）证明：当点是的中点时，平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的长．

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

（1）由已知利用线面垂直的判定可得平面，则；再由已知求得，，可得，则，从而证得结论；（2）以为坐标原点，，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，然后利用二面角的余弦值为构造方程，求解得到的长.

（1）证明：由题意：且，

平面，则

是的中点 ，又

同理

，则

平面

（2）以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，

由条件易知平面，故取为平面的法向量

设平面的法向量为，则且

，

，取，得

由得，即