Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，且，，为的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质可得，再根据线面平行的判定可得结论成立．（2）在中由余弦定理得，于是．在平面内，作，交的延长线于，由条件可得平面，即为点到平面的距离，然后再结合求解可得所求．

（1）证明：连接，交于点，连接．

∵为的中点，为的中点，

∴为的中位线，

∴，且．

又平面，平面，

∴平面．

（2）在中，，，

由余弦定理得，

∴．

∴．

∵，且为的中点，

∴．

在中，．

在平面内，作，交的延长线于．

∵平面平面，平面平面,

∴平面．

即为点到平面的距离．

∵点为的中点，

∴点到平面的距离是长度的一半．

在中，，

∴．