Question

已知函数.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）对任意的，恒成立，求的取值范围；

（3）设，在（2）的条件下,当取最小值且时，试比较与在上的大小，并证明你的结论.

Answer

(1) ；(2) ; (3) ,证明见解析.

【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.

(2)求导后分,和三种情况进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性与最值从而求得的取值范围.

(3)由(2)有取最小值1.再根据题意构造出证明的结构,求导分析单调性证明最值的大小即可.

(1) ∵函数,

∴.故.又.

故在处的切线方程为,即

(2)∵函数,

∴,

①当时,得,则在(1,+∞)上单调递减,

又,故不成立。

②当时,由,得,

由,得,

(i)当时,得,

∴在上单调递减,在上单调递增,

要使得恒成立,则,

令,则,

∴在上单调递增,

又,∴恒成立,即无解。

(ii)当时,,在上单调递增,

由,得恒成立，

综上：.故实数的取值范围是.

(3),证明如下：

由(2)可知,此时.

,知：即证,

令,则,

由,解得,由,解得,

∴在上单调递减,在上单调递增,

∴,

令,则,

由,解得,由,解得,

∴在上单调递增,在上单调递减,

故,又,

∴.

∴.