Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2θ）=8sinθ．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程．

Answer

（1）x2=4y；（2）y=1

【解析】

（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ将极坐标方程化为普通方程，（2）将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及参数几何意义求|FA|•|FB|，最后根据三角函数有界性确定最值，解得结果.

（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos2θ=8sinθ，得ρ2cos2θ=4ρsinθ，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2=4y，即曲线C的普通方程为x2=4y．

（2）由题意可知，直线与y轴交于点F（0，1）即为抛物线C的焦点，

令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，将直线的参数方程代入C的普通方程x2=4y中，

整理得t2cos2α-4tsinα-4=0，

由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t1+t2=，t1t2=，

∴|FA||FB|=|t1||t2|=|t1t2|=≥4，（当且仅当cos2α=1时，等号成立），

∴当|FA|•|FB|取得最小值时，直线的直角坐标方程为y=1．