Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x+m|．

（l）当m=l时，解不等式f（x）≥3；

（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．

Answer

（1）{x|x≤-1或x≥1}；（2）见解析

【解析】

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式放缩论证.

（1）当m=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|，

①当x≤-1时，f（x）=-3x≥3，解得x≤-1，

②当-1＜x＜时，f（x）=-x+2≥3，解得x≤-1，与-1＜x＜矛盾，舍去，

③当x≥时，f（x）=3x≥3，解得x≥1，

综上，不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；

（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1|

=|2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|，

∴对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．