Question

如图，在三棱柱中，平面，，，且，，分别为棱，，的中点.

（1）证明：直线与共面；并求其所成角的余弦值；

（2）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析，；（2）存在，，理由见解析.

【解析】

（1）证明直线与共面只需证明出与平行即可，然后再通过余弦定理求出两直线所成角的余弦值；

（2）建立直角坐标系，求出，利用线面垂直条件证明即可.

（1）证明：，分别是，的中点，

，

由棱柱性质易得，

，

，，，四点共面，

即直线与共面得证，

取中点为，连结，易知四边形为平行四边形，

故，则为直线与所成角，

，，

，

在中，，

，

，

即直线与所成角的余弦值为；

（2）由题意，直线，，两两相互垂直，

如图所示建立直角坐标系，为坐标原点，

有，，，，

，，

设，，

则，，

，

要使平面，则，

即，

解得，即，

故在棱上存在点，

使得平面，且.