Question

已知函数，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当函数在区间上有且只有个极值点时，求的取值范围.

Answer

（1）函数在单调递减，单调递增；（2）.

【解析】

（1）代入，对求导，根据导数正负判断函数的单调区间；

（2）函数在区间有且只有两个极值点，即函数的导数在区间有且只有两个零点，然后对分类讨论，取满足条件的的取值，即可求出的取值范围.

（1）易知函数的定义域为，

当时，，又，

设，

则恒成立，

在单调递增，

又，则当时，

当时，

即函数在单调递减，单调递增；

（2）由，

可得，且，

设，

即，

又，

①当时，

，即在单调递增，

则当时，当时，

即在区间上有且只有个极值点，

故不满足题意，

当时，

，此时，

②当时，

有，此时在恒成立，

同①可得在区间上有且只有个极值点，

故也不满足题意，

③当时，

有，设的两根为，，

则有，，

故，

则时，时，

即函数在单调递减，单调递增，

又，故，，

当，即时，在无零点，

又在单调递增，

即在区间上有且只有个极值点，

故不满足题意，

当，即时，

则使得，

且当时，

当时，

当时，

即此时在区间上有且只有个极值点，

极值点为和，

故满足题意，

综上可得，符合条件的的取值范围为.