Question

已知，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令.

（1）求的函数表达式；

（2）判断并证明函数在区间上单调性，并求出的最小值.

Answer

(1)；(2) 在上单调递减，在上单调递增；

【解析】

（1）根据动轴定区间的处理方式，进行分类讨论即可；

（2）先用单调性的定义证明函数单调性，再根据单调性求解其最小值.

（1）的对称轴为；

，故：

当，即时，

，

则：

当，即时，

，

则：

（2）设：，则

即：，

故在上单调递减；

设，则

即：，

故在上单调递增；

综上所述：在上单调递减；

在上单调递增；

.