Question

数列满足，，．

（1）设，证明是等差数列；

（2）求的通项公式．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即可证得；

（2）由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1，进而利用累加求通项公式即可.

试题解析：

（1）证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）解 由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.

于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,经检验，此式对n=1亦成立，

所以，{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.