Question

如图，五面体中，，平面平面，平面平面，，，点是线段上靠近的三等分点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）分别取、的中点、，连接、、、，证明出，可得出平面，证明出，可得出平面，利用面面平行的判定定理可得出平面平面，由此可得出平面；

（2）以为原点，、所在直线分别为轴、轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.

（1）如图，分别取、的中点、，连接、、、.

由题可知，.

设，易知，且.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

同理平面，所以.

因为平面，平面，故平面.

因为，，所以.

因为，由余弦定理得，

，所以，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，所以，

而，则.

因为平面，平面，所以平面.

因为，所以平面平面.

因为平面，所以平面；

（2）如图，连接，以为原点，、所在直线分别为轴、轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，所以，.

设为平面的一个法向量，则，即，

取，则，，即.

易知，设直线与平面所成的角为.

故，即直线与平面所成角的正弦值为.