Question

如图，在三棱锥，平面，已知，点，分别为，的中点.

(1)求证:平面;

(2)若在线段上，满足平面，求的值.

Answer

(1)证明见详解；(2)

【解析】

（1）通过证明ADPB，ADBC，即可证明AD平面PBC；

（2）通过构造面面平行，从而推出线线平行，再利用三角形相似求解.

（1）证明：因为BC平面PAB，AD平面PAB，故：

BCAD；①

又为等腰三角形，且D为PB中点，故：

PBAD；②

又BC平面PBC，PB平面PBC，，结合①②，故：

AD平面PBC，即证.

（2）取BE中点为M，连接DM、AM，作图如下：

在中，因为D、M分别为PB、BE中点，故：

DM//PE，又PE平面PEF，DM平面PEF，故：

DM//平面PEF，由已知得：AD//平面PEF，且

，DM平面ADM，AD平面ADM，故：

平面ADM//平面PEF；

又平面平面ADM，

平面ABC平面PEF，

故：AM//EF，则，；

因为：，故.