Question

如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，，，是线段上的动点.

（1）试确定点的位置，使平面，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）是线段的中点，理由见解析 （2）

【解析】

（1）当是线段的中点时，平面．连结，交于，连结，利用三角形中位线定理能够证明平面．

（2）法一：过点作平面与平面的交线，过点作于，过作于，连结，由已知条件推导出是平面与平面所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

法二：分别以，，的方向为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解析】
（1）当是线段的中点时，平面.

证明如下：

连结，交于，连结，

由于分别是，的中点，所以，

由于平面，又平面，

所以平面.

（2）方法1：过点作平面与平面的交线，

由于平面，可知，

过点作于，

因为平面平面，，

所以平面，则平面平面，

所以平面，

过作于，连结，则直线平面，

所以，

故是平面与平面所成锐二面角的平面角.

设，则，，

，则，

所以，即所求二面角的余弦值为.

方法2：

因为平面平面，，所以平面，

可知两两垂直，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.

设，则，，，，设平面的法向量，

则所以

令，得平面的一个法向量，

取平面的法向量，

由，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.