Question

已知动点到点的距离与点到直线的距离的比值为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设为轨迹与轴正半轴的交点，上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1） （2）存在，3个

【解析】

（1）设动点根据所给条件列出方程，化简即可.

（2）由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，不妨设，则直线所在的方程为. 联立直线与曲线方程，消元即可求出点的坐标，求出的长，同理可得，再由得到方程，解得.

【解析】
（1）设动点，则，

所以，

平方并化简，得.

所以轨迹的方程为.

（2）存在. 理由如下：

由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，不妨设，则直线所在的方程为.

联立方程消去，并整理得，

解得，

将代入可得，

所以点的坐标为.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，则，解得或.

当斜率时，斜率；当斜率时，斜率；当斜率时，斜率.

综上所述，符合条件的三角形有3个.