Question

如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90，，M是线段AE上的动点．

（1）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面MDF将几何体ADE－BCF分成的两部分的体积之比．

Answer

（1）详见解析；（2）1:4.

【解析】

试题（1）要使得AC∥平面DMF，需要使得AC平行平面DMF内的一条直线.为了找这条直线，需要作一个过AC而与平面DMF相交的平面.为此，连结CE，交DF于N，连结MN，这样只要AC∥MN即可.因为N为线段DF的中点，所以只需M是线段AE的中点即可.

（2）一般地，求不规则的几何体的体积，可将其割为规则的几何体或补为规则的几何体.在本题中，可将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－BCF，如图.这样利用柱体和锥体的体积公式即可得其体积之比.

（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．

证明如下：

连结CE，交DF于N，连结MN，

由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

由于MN平面DMF，又AC平面DMF，

所以AC∥平面DMF． 4分

（2）如图，将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－BCF，

三棱柱ADE－BCF的体积为，

则几何体ADE－BCF的体积

＝．

三棱锥F－DEM的体积V三棱锥M－DEF＝，

故两部分的体积之比为（答14，4，41均可）． 12分