Question

已知函数.

(1)当时，用定义证明函数在定义域上的单调性;

(2)若函数是偶函数，

(i)求的值;

(ii)设，若方程只有一个解，求的取值范围.

Answer

(1)见解析;(2)(i)，(ii)或

【解析】

（1）按单调性的定义证明步骤，任取，再作差判断符号得到，即可得答案；

（2）(i)根据偶函数的定义得恒成立；

(ii)将方程中令，将方程化为，再对分、两种情况分类讨论.

(1)当时，函数定义域为，任取，

，

因为，所以，

所以，，

所以，

所以，故函数在上单调递增;

(2)(i)因为函数是偶函数，所以，

即，

即，

所以恒成立，

所以;

(ii)由题意得，

所以，

所以，即，

设，则与一一对应，原方程化为，

设，

因为，所以与符号相同，

①当时，，则方程在上只有一个正根，

因为开口向上，，，，

当时，所以方程在上只有一个正根;

②当时，，则方程在上只有一个正根，

因为开口向下，，，

则，解得，所以，

故当或时，所以方程只有一个正根.