Question

如图，正方体，点，，分别是棱，，的中点，动点在线段上运动.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接，，，，利用线面平行的判定定理证出平面， 平面，利用面面平行的判定定理证出平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证出.

（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，令，求出平面的一个法向量，由即可求解.

证明：（1）如图：连接，，，，

∵，分别是，的中点，∴.

又，∴，∵平面，平面，

∴平面，

∵，分别是，的中点，∴，

∴四边形为平行四边形，∴，

又，，∴，，

∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，

∴平面，

∵，∴平面平面，

又∵平面，∴平面.

（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，

如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，，，，，

，，，

∵在线段上，令，

则，

，

设是平面的法向量，则

，即，取，得，，

∴.

设直线与平面所成角为，则

，

∵，∴时，.

∴直线与平面所成角的正弦值的最大值.