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已知圆:,过且与圆相切的动圆圆心为. (1)求点的轨迹的方程; (2)已知过点的...

已知圆,过且与圆相切的动圆圆心为.

1)求点的轨迹的方程;

2)已知过点的两直线互相垂直,且直线交曲线两点,直线交曲线两点(为不同的四个点),求四边形的面积的最小值.

 

(1)(2) 【解析】 (1)设动圆半径为,判断圆与圆内切,从而可得,,由椭圆定义可知,点的轨迹是以、为焦点,实轴长为4的椭圆,根据椭圆的标准方程即可求解. (2)分类讨论若或的斜率不存在,求出四边形的面积;若两条直线的斜率都存在,设的斜率为,则的斜率为,根据点斜式求出、的方程,将直线方程与椭圆方程联立,利用弦长公式求出,由,利用基本不等式即可求解. 【解析】 (1)设动圆半径为,由于在圆内,故圆与圆内切, 则,,∴, 由椭圆定义可知,点的轨迹是以、为焦点,实轴长为4的椭圆, ,,, ∴轨迹的方程为. (2)若或的斜率不存在,四边形的面积, 若两条直线的斜率都存在,设的斜率为,则的斜率为, 则的方程为,的方程为, 联立方程组,得, 由韦达定理得,, , 设,,则, 同理可得, ∴ , 当且仅当,即时等号成立. ∵,因此当时,四边形的面积取得最小值为. 另解一: . 当即时等号成立. 另解二:也可以令换元求解.
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