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设函数,. (1)若有两个零点,求实数的取值范围; (2)若对任意的均有,求实数...

设函数.

(1)有两个零点,求实数的取值范围;

(2)若对任意的均有,求实数的取值范围.

 

(1);(2) 【解析】 (1)的零点即为方程的根,设,利用导数研究的单调性,画出的图像,通过图像可得结果; (2)表示出,求出其导数,构造函数,再利用导数判断出单调区间,进而求出的取值范围 (1)的零点即为方程的根, 设,则, 则当时,,当或时,. 因此在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增, 且,,,, 从而的大致草图如下: 由此要使得方程有两个不同实根,则,即. 综合上述,若有两个零点,则实数的取值范围为; (2)设,下面我们通过讨论的单调性求解的最小值,并保证. 由于,, 则在上单调递增, 从而,即. ①当,即时,,故在上单调递增,从而,从而. ②当,即时,则在上存在唯一零点,则当时,;当时,, 从而,考虑到, 从而 , 即. 由于是单调递增函数在上的唯一零点, 要使得,则只需, 故只需保证,即, 故实数. 综合上述,满足条件的实数的取值范围为.
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